Задача 2.3 Проверка статистической гипотезы по критерию о независимости двух эмпирических распределений

Условие. Имеются эмпирические распределения выборочной совокупности колосьев по двум признакам: числу обработок ядохимикатами и степени поражения (табл.2.6).

Проверить статистическую гипотезу о независимости эмпирических распределений в генеральной совокупности.

Решение

1.Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезу:

Н_о: эмпирические распределения независимы,

Н_а: эмпирические распределения зависимы.

2. Подсчитаем для обоих распределений сумму частот в каждом интервале и общее число единиц в совокупности: , и (итоговая графа и строка табл.2.6).

Таблица-2.6 Эмпирические распределения колосьев по числу обработок

ядохимикатами и степени поражения (n_ij)

Обработка ядохимикатами	Степень поражения	Итого	Про-цент к итогу
	непора-женные	пораженные
слабо	средне	сильно
Не обработаны						17,5
Обработаны: 1раз						34,4
2 раза						48,1
Итого (					7090	100,0
Процент к итогу	28,6	27,5		26,2	17,7	100,0	Х

3. Определим процентное отношение частот каждого интервала к общему числу единиц в совокупности (последняя графа и строка табл.2.6).

4. Исчислим и запишем в табл. 2.7 гипотетические частоты каждого интервала обоих распределений. При этом, исходя из нулевой гипотезы о независимости распределений, предполагаем, что распределение колосьев по степени поражения в пределах каждого интервала по числу обработок ядохимикатами соответствует итоговым процентам по строке, а распределение колосьев по числу обработок в пределах каждого интервала по степени поражения соответствует итоговым процентам по столбцу.

Например, гипотетическое распределение колосьев по степени поражения в пределах интервала необработанных колосьев составляет: непораженных ; пораженных: слабо ; средне - ; сильно - Аналогичный результат можно получить, используя процентное отношение последнего столбца таблицы 2.6 ( и т.д.).

5. Подсчитаем для обоих распределений сумму гипотетических частот в каждом интервале (итоговая графа и строка табл. 2.7). Суммы гипотетических частот по интервалам должны быть равны суммам фактических частот. Соответственно общее число единиц гипотетических и эмпирических распределений должно быть равным .

6. Найдем разности между фактическими и гипотетическими численностями и запишем их в таблицу 2.8. Поскольку суммы фактических и гипотетических частот по интервалам равны, суммы разностей должны равняться нулю.

Таблица - 2.7 Гипотетические распределения колосьев .

Обработка ядохимикатами	Степень поражения	Итого	Про-цент к итогу
непора-женные	пораженные
слабо	средне	сильно
Не обработаны						17,5
Обработаны: 1раз						34,4
2 раза							48,1
Итого (					7090	100,0

Таблица -2.8 Разности между фактическими и гипотетическими

численностями (n_{i j} - )

7. Определим фактическое значение критерия :

_факт.=

8. Найдем число степеней свободы вариации по формуле: , где l - общее число интервалов в распределениях; k - число независимых ограничивающих линейных связей. l = ав, где а и в - число интервалов по каждому признаку; k = а + в -1. Тогда = ав - (а+ в - 1) = (а - 1)(в - 1). Для рассматриваемого примера = (3 - 1) (4 - 1) = 6.

9. По таблице "Критические значения "(приложение 5) найдем критическое значение при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы =6: _0,05 = 12,59.

10. Сделаем вывод. Фактическое значение ( _факт.=563,73) значительно превышает его критическое значение ( _0,05 = 12,59). Нулевую гипотезу о независимости эмпирических распределений следует отвергнуть и принять альтернативную гипотезу с вероятностью ошибки в 5 случаях из 100.Практически значимый вывод: обработка ядохимикатами является существенным фактором снижения заболеваемости растений при вероятной ошибке суждения 5%.

Задача 2.4 Проверка статистической гипотезы по критерию

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: