Проверка статистической гипотезы о соответствии фактического распределения нормальному распределению

Условие: Имеется эмпирический ряд распределения совокупности хозяйств по удою на одну среднегодовую корову с параметрами =30,5 ц, S= 8,1 ц (таб. 2.4)

Проверить соответствие фактического распределения нормальному распределению. Уровень вероятности суждения 0,95.

Решение

1. Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезы

Н_о: эмпирическое распределение соответствует нормальному распределению

Н_а: эмпирическое распределение не соответствует нормальному распределению.

2. Исходя из предположения о соответствии эмпирического распределения нормальному, определим для каждого интервала ожидаемые (гипотетические) частоты. С этой целью:

а) определим срединные значения интервалов, как полусумму нижней и верхней границ в каждой группе, и запишем их в таб. 2.4 (графа 3).

б) найдем отклонения срединных значений интервалов (Х_i) от средней величины =30,5 ц (графа 4)

в) вычислим для каждого интервала нормированное отклонение (t _i) как отношение данных графы 4 к среднему квадратичному отклонению S= 8,1 ц. Результаты запишем в графу 5.

г) используя данные таблицы «Значения функции F(t)= » (Приложение 5), найдем для нормированного отклонения каждого интервала значение функции плотности нормального распределения (графа 6).

Таблица - 2.4 Эмпирическое и теоретическое распределение коров по продуктивности

Интервал по удою коров, ц/гол	Число коров n i	Срединное значение интервала Хi	Отклонение от средней (Хi- )	Нормированное отклонение t I =	Значение функции плотности нормального распределения F (t)	Гипотетическая частота нормального распределения	n i - ň i	(n i - ň i)2	(n i - ň i)2 ň i
расчетная ň i	С округлением ň i
До 11		9,5	-21	-2,59	0,0139	1,38				0,2000
11-14		12,5	-18	-2,22	0,0339	3,36
14-17		15,5	-15	-1,85	0,0721	7,14				0,5714
17-20		18,5	-12	-1,48	0,1334	13,20		-1		0,0769
20-23		21,5	-9	-1,11	0,2155	21,33		-2		0,1818
23-26		24,5	-6	-0,74	0,3034	30,04		-4		0,5333
26-29		27,5	-3	-0,37	0,3726	36,89		-5		0,6757
29-32		30,5			0,3989	39,49				2,5641
32-35		33,5		0,37	0,3726	36,89				0,2432
35-38		36,5		0,74	0,3034	30,04				0,1333
38-41		39,5		1,11	0,2155	21,33		-4		0,7273
41-44		42,5		1,48	0,1334	13,20		-2		0,3077
44-47		45,5		1,85	0,0721	7,14		-2		0,5714
47-50		48,5		2,22	0,0339	3,36				0,8000
50 и св.		51,5		2,59	0,0139	1,38
Итого		х	х	х	х	х				7,5861

д) рассчитаем произведение числа единиц в совокупности на длину интервала h, выраженную в долях среднего квадратичного отклонения С = N .

С= 267

е) вычислим гипотетические частоты по формуле ň _i = C* F(t) и запишем в графу 7. Например, для первого интервала 99 * 0,0139= 1,38, для второго интервала 99 *0,0339= 3,36 и т.д.

ж) округлим гипотетические частоты до целых чисел и объединим интервалы с малой численностью (менее 5 единиц) с соседними так, чтобы частоты в эмпирическом и гипотетическом рядах распределений были не менее 5 единиц. Результаты запишем в графу 8. Подсчитаем сумму гипотетических частот и проверим ее равенство фактическому числу единиц совокупности: Σ n_i = Σ ň _{i =}

= 267.

3. Определим разность фактических и гипотетических частот, проверим равенство их сумм нулю Σ (n_i - ň _i) = 0 (графа 9)

4. Вычислим для каждого интервала квадраты разностей частот (графа 10)

5. Определим в каждой группе отношение квадрата разности частот к соответствующей гипотетической частоте , получим из них сумму, соответствующую фактическому значению критерия

χ² = = 7,586

6. Определим число степеней свободы вариации признака по формуле

V = L - k - m,

где L – число интервалов (с учетом укрупнения),

k- число независимых линейных ограничивающих связей,

m- число параметров, используемых при определении гипотетических частот.

В рассматриваемом примере число интервалов с учетом укрупнения равно 13, имеется одна линейная ограничивающая связь (равенство сумм фактических и гипотетических частот), при исчислении гипотетических частот использованы два параметра (, S)

V = 13-1-2 = 10

7. По математической таблице «Критические значения критерия χ²» (Приложение 6) найдем критическое значение χ² при α= 0,05, V =10

χ² = 18,31

8. Сопоставим фактическое и табличное значение χ². Фактическое значение критерия 7,556 меньше его критического значения 18,31, следовательно, находится в области допустимых значений критерия. Следует принять нулевую гипотезу о соответствии фактического распределения нормальному закону распределения с вероятностью ошибки в 5 случаях из 100. Практически значимый вывод: распределение коров по надою согласуется с законом нормального распределения с вероятностью ошибки 5%.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: