Определение шага разбиения отрезка интегрирования, при

ко­тором квадратурная формула обеспечивает заданную точность

При решении задачи численного интегрирования с заданной точ­ностью необходимо найти так, чтобы оказалось . Для этого допустимую погрешность обычно делят между двумя ис­точниками с учетом степени их влияния на результат: . Сначала определяют число п, удовлетворяющее неравенству , что равносильно выбору такого шага разбиения, при котором квад­ратурная формула обеспечивает точность Затем при найденном n вычисляют значение с точностью до

Ясно, что в случае хорошо вычисляемых функций /надо выбирать существенно меньшим, чем . Это позволит сократить объем вы­числений за счет уменьшения количества разбиений отрезка .

Из следующих неравенств можно вычислить – количество отрезков разбиения:

1) Формула трапеций:

2) Формула Симпсона:

Вопросы оценки точности приближенного интеграла с учетом вычислительных погрешностей

Так как интеграл отыскивается посредством двух при­ближенных равенств поскольку точные значения функ­ции f обычно неизвестны и поэтому удается найти лишь прибли­женное значение выражения . При этом часто возникает ситуа­ция, когда узлы приходится брать с округлением. Естественно, что погрешности также повлияют на точность .

В результате сложения погрешностей квадратурной формулы и вычисления значения образуется погрешность числа относитель­но точного интеграла . Пусть — оценка погрешности вычисления . Тогда абсолютная погрешность приближенного интег­рала относительно определяется по формуле

Степень влияния двух отмеченных источников погрешностей на результат зависит от подынтегральной функции.

Если f задана аналитически и .можно находить с любой точ­ностью, основное внимание обращают на погрешность квадратур­ной формулы. Тогда при каждом вычисления с достаточно большим количеством цифр обеспечат незначитель­ность по сравнению с .

Другой крайний случай возникает в ситуации, когда нет ограни­чений на количество точек разбиения отрезка интегрирования, но находятся с малой точностью, например экспериментальным путем. Тогда на первое место выходит задача учета погрешностей вычислений.

Оба источника существенны, если данные для квадратурных фор­мул берутся из таблицы значений подынтегральной функции, ибо тогда точность вычислений ограничена точностью таблицы, а точ­ность формулы — шагом таблицы.

Задание

Вариант	Интеграл

1. Вычислите данный интеграл вручную по формуле трапеций при n = 3 и n = 6. Оцените погрешность приближения J₆^(T) методом двойного пересчета, а затем найдите абсолютную погрешность это­го же приближения по формуле строгой оценки погрешностей.

1)

1)

Погрешность вычислений

Абсолютная погрешность

Следовательно, у одна верная цифра после запятой.

2. Вычислим данный интеграл по формуле Симпсона с точнос­тью до , для чего сначала надо определим число п, при котором формула обеспечивает точность ε, затем составим програм­му реализации формулы и с ее помощью найдем Для того чтобы не учитывать вычислительные погрешности, шаг разбиения и зна­чения функций возьмем с двумя запасными цифрами, тогда пусть .

Составим програм­му реализации формулы и с ее помощью найдем . Текст программы:

var a,b,h,x:real;

n,i:integer;

integ:real;

function F(x:real):real;

begin

F:=sin(x+1)

end;

begin

write('a='); readln(a);

write('b='); readln(b);

write('n='); readln(n);

if (n mod 2)>0 then

begin

n:=n+1;

writeln('4islo n bylo vvedeno ne4etnoe, ono zameneno na',n);

end;

h:=(b-a)/n;

integ:=F(a)+F(b)+4*F(a+h);

for i:=1 to (n div 2)-1 do

begin

x:=a+2*h*i;

integ:=integ+2*F(x)+4*F(x+h);

end;

integ:=h*integ/3;

writeln('integral = ',integ:1:6);

readln;

end.

Результат, выведенный на экран (возьмем также n=8 для )

a=0

b=2

n=26

integral = 1.530295

a=0

b=2

n=8

integral = 1.530328

Ответ:

3. Вычислите интеграл по формуле Ньютона-Лейбница с мак­симальной точностью, которая возможна при используемых вычис­лительных средствах.

6. Сравните полученные разными способами результаты по их точности.

Так как интеграл выражается через элементарные функции, то наиболее точным значением будет то, что рассчитано по формуле Ньютона-Лейбница. Расчет по формуле трапеций требует большого количества шагов разбиения для обеспечения высокой точности; формула Симпсона же, напротив, позволяет добиться высокой точности, не прибегая к уменьшению отрезка шага разбиения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: