ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Понятие численного решения. Ломаная Эйлера
Потребность в приближенном решении задачи Коши возникает прежде всего в том случае, когда дифференциальное уравнение не принадлежит ни одному из классов уравнений, для которых известны точные методы интегрирования. Приближенные методы часто применяют и тогда, когда точные методы оказываются неэффективными ввиду больших затрат времени и усилий для их реализации. На практике наиболее распространенными являются численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, дающие решение задачи Коши в виде таблицы приближенных значений точного решения φ. Эту таблицу [таблично заданную функцию и называют численным решением задачи Коши. Для выполнения начального условия таблица должна содержать данные х0, у0.
Если задан конечный промежуток, на котором ищется решение, и точка х0 лежит внутри этого промежутка, приближенное решение имеет вид табл. 2. Вначале в ней известны х0 и у0, затем отыскиваются остальные табличные данные. Так как правила определения «верхних» и «нижних» (относительно х0 и у0 ) данных одинаковы, будем искать это решение в виде табл. 3.
Для построения табл. 3 выбирается шаг h и вычисляются табличные аргументы .Затем последовательно находятся числа ,близкие к значениям точного решения в точках : Точность приближенных равенств (5.6) зависит от способа вычисления и от шага таблицы h. Чем меньше шаг, тем выше должна быть точность таблицы. Заданное значение у0 считается точным числом. Погрешности появляются при вычислении у1, а далее обычно происходит их накопление.
Табл. 3 является приближением к решению φ. Если на плоскости хОу построить точки таблицы (х0, у0),...,(хn, уn) и соединить их отрезками, получится так называемая ломаная Эйлера (рис. 10). Она будет приближением интегральной кривой . Теорема. Если все частные производные функции f до k-го (k≥ 1) порядка непрерывны в прямоугольной области D, то всякое решение уравнения , график которого проходит через внутреннюю точку (х0, у0) этой области, имеет производную (k + 1)-го порядка, непрерывную в некоторой окрестности x0.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|