Порядок выполнения работы. 1. Убедимся в существовании и единственности решения поставленной задачи Коши.
1. Убедимся в существовании и единственности решения поставленной задачи Коши.
Согласно теореме Пикара: точка (2, 0) является внутренней точкой замкнутой прямоугольной области и на области D выполняются условия:
1) функция непрерывна как функция двух переменных;
2) частная производная существует и ограничена как функция двух переменных.
Следовательно, на отрезке , на котором уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее заданному начальному условию.
2. Вычислим вручную у1* и оценим его погрешность.
, где 
При h=0,1

При h=0,05

Погрешность:

3. Составим программу вывода таблицы, где у — приближение к значению точного решения в точке xi , найденное однократным вычислением по методу Эйлера-Коши (с шагом h = 0,1), Е — оценка погрешности значения у*.
Текст программы:
var a,b,x0,y0,x,y,fm,fm1,h,y1,y2:real;
i:longint;
procedure vvod;
begin
a:=2;
b:=3;
x0:=2;
y0:=0;
end;
function fun(x:real;y:real):real;
begin
fun:=cos(x+y);
end;
function vu4(h:real):real;
begin
x:=x0;
y:=y0;
repeat
begin
fm:=fun(x,y);
fm1:=fun(x+h,y+h*fm);
y:=y+h/2*(fm+fm1);
x:=x+h;
end
until x>b;
vu4:=y;
end;
procedure vyvod;
begin
writeln('Tablyca zna4eniy');
x:=x0;
y:=y0;
i:=0;
h:=0.1;
repeat
begin
write('x='); write(x:0:5,' ');
write('y='); writeln(y:0:5);
fm:=fun(x,y);
fm1:=fun(x+h,y+h*fm);
y:=y+h/2*(fm+fm1);
x:=x+h;
i:=i+1;
end
until i>(b-a)/h;
writeln;
write('4yslo iteraciy=',i-1)
end;
begin
vvod;
i:=10;
repeat
begin
h:=(b-a)/(2*i);
i:=i*2;
y1:=vu4(h);
y2:=vu4(h/2);
writeln ('y*=', y2, ' E=', (y1-y2)/3);
end;
until (abs(y1-y2))/3<0.00001;
vyvod;
writeln;
readln
end.
Результат, выведенный на экран:
y*=-0.622330289016936 E=-0.0061927127952861
y*=-0.603894765843361 E=-0.00614517439119137
y*=-0.603892097470492 E=-8.89457623184005E-07
Tablyca zna4eniy
x=2.00000 y=0.00000
x=2.10000 y=-0.04423
x=2.20000 y=-0.09318
x=2.30000 y=-0.14632
x=2.40000 y=-0.20321
x=2.50000 y=-0.26346
x=2.60000 y=-0.32670
x=2.70000 y=-0.39264
x=2.80000 y=-0.46102
x=2.90000 y=-0.53158
x=3.00000 y=-0.60413
4yslo iteraciy=10
4. Получим искомое численное решение, выписывая табличные значения с верными значащими цифрами.
x
| y
|
|
| 2,1
| -0,4423
| 2,2
| -0,9318
| 2,3
| -0,14632
| 2,4
| -0,20321
| 2,5
| -0,26346
| 2,6
| -0,32670
| 2,7
| -0,39264
| 2,8
| -0,46102
| 2,9
| -0,53158
|
| -0,60413
|
5. Построим соответствующую ломаную Эйлера.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика. - М.: Академия, 2003.-192 с.: ил.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.
3. Демидович Б.П., Марон И.Α., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
5. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. — М.: Просвещение, 1990.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|