ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Предел функции. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.Опр.1: Пусть функция f определена на множестве , Е некоторое подмножества множества , -это предельная точка множества Е. Число А – называется пределом функции f по множеству Е в точке х(0), если для любой последовательности точек , при , такой что: числовая последовательность сходится к числу А. Обозначение: Опр.2: Пусть функция f определена на множестве , Е некоторое подмножества множества , -это предельная точка множества Е. Число А – называется пределом функции f по множеству Е в точке х(0), если для каждого Е>0 такое , что для каждой точки , , для которой выполняется неравенство: Аналогично случаю n=1 доказывается эквивалентность этих определений для любых n. Проколотая окрестность __________________ Опр.3: Если функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки х(0) под пределом функции в точке х(0) по этой проколотой окрестности называется просто предел функции в точке, и обозначается: Опр.4: Пусть через точку х(0) проведена прямая l, - некоторая проколотая окрестность точки (х(0)), предел функции f в точке х(0) по пересечению называется пределом функции f в точке х(0) в направлении прямой l. Опр.5: Если множество Е является множеством точек, некоторой кривой, проходящей через точку х(0), то в этом случае предел функции f п множеству Е при называется пределом функции по данной кривой. Очевидно, что если функции f предел в точке х(0), то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой кривой, причем эти пределы совпадают. Пример: , определить во всех точках _________, кроме точки(0,0) Исследуем поведение этой функции по различным направлениям и найдем пределы в точке (0,0). Уравнение прямой, проходящей через начало координат по направлению вектора с координатами , имеет вид: причем Тогда: Т.е. предел существует по любому направлению и равен нулю. Теперь: Вывод: предел в точке (0,0) не существует. Аналогичным случаю одной переменной для функции многих переменных по множеству имеют место соответствующие теоремы о пределах сумм, произведений, частного. Наряду с рассмотренными пределами функции многих переменных можно рассмотреть и пределы других видов, связанные с последовательным переходом пределов. или такие пределы называются повторными. Пример: , интересует точка (0,0)
Рассмотрим второй предел: ; повторные пределы могут быть неравны. Пример:
и - не существует так как по прямой х=0 или y=0 предел равен 0, а по прямой y=х – предел равен ½, поэтому предел по множеству в точке (0,0) не существует. Таким образом из одного лишь существования предела функции в данной точке не следует существование повторных пределов и наоборот. Теорема: Пусть функция f(x,y) определена на множестве Е, содержащим все точки прямоугольной окрестности: , точки (x0,y0),кроме может быть прямых: и , если существует предел функции по множеству Е, и при любом при , о повторные предел - существует и это предел равен пределу по множеству то есть:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|