Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Определение. Функциональный ряд вида

,

где … – действительные числа, называется степенным рядом.

Областью абсолютной сходимости ряда является интервал , где число R – радиус сходимости.

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимости R > 0. Тогда справедливы следующие положения:

1. Сумма ряда является непрерывной функцией от x во всем интервале сходимости .

2. Ряд равномерно сходится на любом отрезке , где .

3. Ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему внутри интервала .

4. Ряд можно почленно дифференцировать в любой точке сколь угодно раз.

Примечания:

1. При почленном интегрировании или дифференцировании степенного ряда получаются новые степенные ряды, при этом их радиус сходимости остается тот же.

2. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из формул:

, (10)

(11)

при условии, что указанные пределы существуют, – коэффициент ряда.

Задача 17.31 [7]

Найти сумму ряда .

Решение:

I способ. Найдем интервал сходимости ряда:

, , .

Упростим рациональную дробь , .

Тогда ряд может быть представлен разностью двух рядов:

.

Сходимость каждого из них остается та же (убедитесь в этом самостоятельно). Поэтому равенство имеет место. Обозначим суммы рядов соответственно и , а искомую сумму – через , .

Найдем сумму первого ряда:

.

Дифференцируя почленно ряд внутри интервала сходимости , получим: ; представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем .

При прогрессия сходится, , , и сумма равна: ; . Теперь, интегрируя на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

.

Найдем сумму второго ряда:

.

Выполним преобразование:

.

Обозначим сумму ряда, стоящего в скобках, через и продифференцируем в интервале :

– это тоже геометрическая прогрессия.

, , ;

.

Итак, сумма исходного ряда равна:

или
для .

II способ. Не повторяя подробностей I способа, связанных с интервалом сходимости данного ряда, предлагаем II вариант решения задачи. Обозначим сумму ряда через : .

Умножим на данный ряд: . Продифференцируем дважды полученный ряд:

,

.

представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , тогда . Проинтегрируем на отрезке :

.

Интегрируя по частям, получим:

для .

Задача 18.31 [7]

Найти сумму ряда .

Решение:

Данный ряд сходится в интервале (убедитесь в этом самостоятельно). Перепишем его, представив в виде суммы трех рядов:

.

Это возможно, так как каждый из рядов имеет одну и ту же область сходимости – интервал . Обозначим суммы трех рядов соответственно через , , , а искомую сумму – через .

.

,

как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем

.

Выполним преобразование:

.

Обозначим через сумму ряда .

Интегрируя почленно этот ряд на отрезке внутри интервала сходимости , получим:

.

Чтобы найти , надо продифференцировать дробь :

.

Следовательно, .

Теперь найдем :

.

Вынесем за скобки:

.

Обозначим через сумму ряда, стоящего в скобках. Тогда

В этих скобках стоит ряд, сумма которого найдена: . Получаем: .

Отсюда .

Но , . Тогда сумма исходного ряда

.

Итак, для .

Ряд Тейлора

Определение. Ряд

называется рядом Тейлора по степеням для функции .

Функция может быть разложена в ряд Тейлора, если в рассматриваемой точке она имеет производные всех порядков и если остаточный член в точке при стремится к нулю. При ряд Тейлора называют иногда рядом Маклорена.

Теорема

Если функция разлагается в степенной ряд, то для неё этот ряд единственный и является рядом Тейлора.

Примечание. Находя последовательно производные функции и их значения в точке , можно записать ряд Тейлора. Но при этом исследование остаточного члена представляет большие трудности. Поэтому часто идут другим путем: пользуются готовыми разложениями основных элементарных функций в степенные ряды в комбинациях с правилами сложения, вычитания, умножения рядов и теоремами об их интегрировании и дифференцировании, как это, например, было показано в задачах 17.31 и 18.31.

Задача 19.31 [7]

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение:

х ₀ = 0. Воспользуемся примечанием. Так как

,

то функция упрощается, если применить метод неопределенных коэффициентов:

.

Далее раскладываем в ряд каждое слагаемое, пользуясь геометрической прогрессией:

.

Сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем равна: . В нашем случае . – радиус сходимости этого ряда. Слагаемое ,

Складывая ряды, получим: или , где – общая область сходимости.

4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью
степенных рядов

Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, подынтегральную функцию раскладывают в ряд, производят интегрирование и в полученном ряде оставляют столько членов, сколько потребуется для заданной точности (см. задачу 9.31).

Задача 20.31 [7]

Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение:

Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, заменяя в нем на , имеем:

.

Toгдa

Почленное интегрирование законно, так как отрезок интегрирования целиком лежит в области сходимости ряда .

Чтобы вычислить данный интеграл с точностью до 0,001, надо взять в полученном ряде два его члена (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Таким образом,

.

Вопросы для самопроверки

Числовые ряды

1. Дайте определения сходящихся и расходящихся рядов.

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

3. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение рядов с положительными членами; признак Даламбера; радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

4. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Сформулируйте признак Лейбница.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: