Мысалдар қарастырайық.

1- мысал.

(0 ≤ u < ∞, 0 ≤ v < 2π) бетте жатқан u= a v² қисықтық A(u=0, v=0) нүктеден B(u=20, v=2) нүктеге дейінгі ұзындығын табыңдар.

Шешуі: алдымен 1-квадраттық форманы табу керек.

_u={x_u, y_u, z_u}={ ( cosv+sinv), ( sinv-cosv), 0}

_v={ (- sinv+cosv), ( cosv+sinv), a}={x_v,y_v,z_v}

Сонда

E= _{u u}= (3cos²v+2 cosvsinv+sin²v)+ (3sin²v-2 sinv·cosv--cos²v)+0²=1

F= _{u v}= (-3cosv sinv- sin²v+ cos²v+sinv cosv)+ (3sinv cosv –

- cos²v+ sin²v-sinvcosv)+0=0

G= _{v v}= (3sin²γ-2 sinvcosv+cos²v)+ (3cos² γ+2 cos γsin γ+

+sin² γ)+a²=u²+a²,

Ал, u= av² тан = a²v=av

Сонда

2- мысал. x=ucosv, y=usinv, z=u² бетттегі v=u+1, v=3-u қисықтар арсындағы бұрышты табыңдар.

Шешуі: x_u=cosv, y_v=sinv, v_u=2u, x_v=-usinv, y_v=ucosv, z_v=0

Бізде d белгі v=u+1 бойымен алынған дифференциал dv=du белгі v=3-u қисығы бойымен алынған дифференциал

v=- u

v=u+1 мен v=3-u сызықтары u=1, v=2 нүктеде қиылысады.

Сонда

3- мысал. x=u cosv, y=sinv, z=av геликоидада жатқан u=0, u=a, v=0, v=1 қисықтармен шектелген төрт бұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі: Аудан формуламен табылады. Мұндағы Д мына u =0, u=a, v=0, v=1 сызықтармен шектелген төрт бұрыш

x_u=+cosv, y_u=sinv, z_u=0, x_v=-u sinv, y_v=u cosv z_v=a

E= _{u u}=cos²V+sin²V+0=1 F=-usinv cosv+usinvcosv+0=0

G=u²sin²v+u²cos²v+a²=u²+a²

Сонда мына формуланы

пайдалансақ

Демек

§ 61. Беттің екінші квадраттық формасы, беттегі қисық

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: