Тұрақты қисықтықты беттер

Әрбір нүктесінде толық қисықтың К_г – тұрақты болатын бет тұрақты толық қисықтықты бетғ, ал орта қисықтығы К_о- тұрақты болатын бет тұрақты орта қисықтықты бет делінеді. Қарапайым беттер үшін K_r- да, K₀- да тұрақты және 0-ге тең боолады. Кезкелген цилиндрлық конустың беттерде толық қисықтығы тұрақты және K_r=0 болатын (себебі олар параболалық нүктелерден тұрады) беттер болады.

Толық қисықтығы тұрақты болатын айналу беттері де болады. Тік бұрышты О_хуz координата жүйесінде П жазықтығы және онда жатқан L қиысығы берілсін. П жазықтығына O_{u z} координата жүйесін ендірейік. (Мұндағы Ou=Oxy П) (379а-сурет-1) L жатық сызық болсын, оның Ou ғ нүктедегі теңдеуі z=f(u) болсын дейік.

M нүкте L- де жатсын. L сызығы О_z осінен айналаса яғни бұрыш (0,2п) аралықта өзгерсе L -дің әрбір M нүктесі центрі осінде жататын шеңберлер сызар еді. Онда айналу беттің паралельдері дейді. О_хуz -дегі M(х,у,z) координатыболсын.

z П L z

0¹

М Mo

0 u

0 y

х u

379-а сурет (1,2,3).

Онда x=ucos , y=usin , z=f(u) (*1)

Бұл L сызықтың О_z -тең айналуынан шыққан F беттің параметрлік теңдеуі болады. Оның жағындағы функциялар үздіксіз және

Ранг

Сондықтан M F₀ F болатын F_о - элементар бет болады. F жатық бет болады. десек беттің векторлық теңдеуі

=ucos +usin +f(u) (*2) болады.

Мұндағы праметрлер u мен . Координаттық сызықтар - тұрақты болса беттің меридианалар, u-тұрақтыболса паралельдері болады.

(*2) ден (u, ), _u(cos , sin , f¹_u(u); (-u sin , u cos , 0), _uv(0,0,f¹¹_uu(u)).

_u (sin , cos , 0); (-ucos , -usin , 0) Болатындықтан

Бізде F=0, M=0 болды. Сондықтан координаттың тор қисықтық сызығынан жасалған. Сөйтіп айналу бетінде қисықтың сызықтары меридианы мен паралельдері болады екен. Сонда беттің M нүктедегі жатық қисықтығы

(61-22)

Нақты беттерді қарастырайық.

1) F сфера болсын. Оның радиусын r деген П жазықтықтағы теңдеуі z²+u²= ² болар еді. Бұдан мұның плюсін алайық, сонда , болады бұдан .

Сонда (61-22) бойынша болып шығады. Демек сфераның кезкелген нүктесінде беттің толық қисықтығы болады екен. сондықтан ол тұрақты болады және ол сан болады. Демек сфера тұрақты оң толық қисықтықты бет болады.

2) F -псевдосфера болсын. Псевдосфера деп трактрисаның (379-а сурет-2) өзінің осінен (О_ғ -тең) айналуынан шыққан бетті айтады. (379-а сурет-3).

Практрисаның П жазықтықтағы параметрлік теңдеуі (a -тұрақты). Бұдан

Мұның толық қисықтығы , тұрақты, теріс болады. Сонымен псевдосфера теріс толық қисықтықты бет болады екен. Орташа қисықтығы барлық нүктесіде тұрақты болатын бетті минималды бет дейді. Тек Геликоид сондай бет болады. Бірдей тұйық сызықпен шектелген беттердің ішінде ауданы ең аз болатын бет минималды бет болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: