Анықтауыштардың қасиеттері

1 Егер жол саны мен баған санын ауыстырсақ, анықтауыштың мәні өзгермейді (яғни анықтауышты транспонирлегеннен мәні өзгермейді).

2 Егер анықтауыштағы екі жолдың (бағанның) орнын ауыстырсақ, онда анықтауыштың таңбасы өзгереді.

3 Егер қандай да бір жолдың (бағанның) элементтері нөлдер болса, онда анықтауыш нөлге тең.

4 Екі бірдей жолы (бағаны) бар анықтауыш нөлге тең.

5 Жолдың (бағанның) барлық элементтеріне ортақ көбейткішті анықтауыш таңбасы алдына шығаруға болады.

6 Екі пропорционал жолы (бағаны) бар анықтауыш нөлге тең.

7 Егер қандай да бір жолдың (бағанның) элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда мұндай анықтауыш екі анықтауыштардың қосындысы түрінде жазылады: .

8 Егер қандай да бір жолдың (бағанның) элементтеріне сәйкес басқа бір жолдың (бағанның) элементтерін бір санға көбейтіп қосса,анықтауыштың мәні өзгермейді.

9 Анықтауышты жол (баған) бойынша жіктеу: Анықтауыш қандай да бір жолдың (бағанның) элементтерін олардың алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанға тең. Мысалға,

– екінші жол бойынша жіктеу;

– бірінші баған бойынша жіктеу.

Анықтауышты тоғызыншы қасиетті қолданып есептеуге болады: – j–ші баған бойынша жіктелуінемесе – i–ші жол бойынша жіктелуі. матрицасына сәйкес келетін n–ші ретті анықтауыштың белгіленуі және есептелінуі: = –

i-ші жол бойынша жіктелуі немесе – j–ші баған бойынша жіктелуі.

Жоғарыда көрсетілген екінші ретті анықтауыштың қасиеттері кез келген реттегі анықтауыштарға да орынды.

Мысалы 1.1.2 – анықтауышын есептеу керек.

Шешуі:

Егер анықтауыштың реті үштен жоғары болса, онда оны қандай да бір жол немесе бағаны бойынша жіктеп есептеуге болады. Немесе 8 қасиет бойынша анықтауыштың бір жолында (бағанында) бір элементтен басқасын нөлге айналдырып, осы жол (баған) бойынша жіктеуге болады. Соңғы жолы қолайлырақ, себебі жіктеуде бір ғана қосылғыш болады.

Біздің мысалда үшінші жолда нөл бар, осы жолдағы 4 және –1 орнына нөл алу үшін үшінші бағанды (-4)-ке көбейтіп, бірінші бағанға қосамыз және үшінші бағанды 2-ге көбейтіп екінші бағанға қосамыз: . Енді анықтауышты үшінші бойынша жіктейміз

.

Анықтама. Егер орындалса, онда матрицасы матрицасына кері матрица деп аталады, мұндағы –

бірлік матрица. Егер матрицасы шаршы және анықтауышы нөлден өзге болғанда ғана кері матрицасы бар болады. Кері матрицаны есептейтін формула: , мұндағы , ал – элементінің алгебралық толықтауышы.

Матрицаның к-ші ретті миноры – бұл кез келген к жол мен к бағанның қиылысуында тұрған матрицаның элементтерінен тұратын анықтауыш. Егер к-ші ретті барлық минорлар нөлге тең болса, онда (к+j)- ші ретті барлық минорлар да (яғни жоғарғы ретті) нөлге тең екендігі дәлелденген.

Анықтама. Матрицаның рангы деп нөлге тең емес минордың ең жоғарғы реті айтылады. А матрицасының рангы немесе деп белгіленеді.

Рангты есептеу әдістері.

1 Минорларды жиектеу әдісі.

А матрицасында к- ші ретті нөлден өзге минор табылған болсын, . Осы минорды жиектейтін к+ 1- ші ретті барлық минорларды(яғни к ші ретті минор енетін) қарастырайық. Егер олардың барлығы нөлге тең болса, онда ранг к -ге тең ( ). Егер қандай да бір минор , онда осы минорды жиектейтін минорларды қарастырамыз.

2 Элементар түрлендірулер әдісі.

Анықтамалар:

1. Матрицаның элементар түрлендіруі дегеніміз:

а) жолдың (бағанның) барлық элементтерін нөлден өзге санға көбейту;

б) жолдың (бағанның) элементтеріне басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтерін тек бір санға көбейтіп қосу;

в) жолдың (бағанның) орнын ауыстыру.

2. Бір матрицаны элементар түрлендіріп, екінші матрица аламыз, олар өзара эквивалентті деп аталады, деп белгіленеді.

Теорема. Эквивалентті матрицалардың рангтары тең (немесе элементар түрлендіргеннен матрицаның рангы өзгермейді).

Элементар түрлендірулер әдісі жоғарыда келтірілген теоремаға сүйенеді. Элементар түрлендіру көмегімен матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . матрицасында нөлдік емес жол бар, - ші ретті нөлден өзге минор бар: . -ден жоғарғы ретті минорлар нөлден тұрғандықтан, олардың рангы нөлге тең. Сонымен, .

Мысалы 1.1.3 - матрицаның рангын

а) минорларды жиектеу әдісі бойынша;

б) элементар түрлендірулер әдісі бойынша есептейік.

а) жоғарғы сол бұрыштан бастайық. Екінші ретті минор , сондықтан басқасын аламыз . минорын жиектейтін (яғни енетін) минорды қарастырайық:

. Олардың барлығы нөлге тең, яғни . Нөлге тең емес, реті рангке тең минор базистікдеп аталады. Сонымен, базистік минор ;

б) Элементар түрлендіру көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз: ~

. Біріншіден бірінші жол (-2)-ге көбейтіп екінші жолға қосылды, сосын (-1)-ге көбейтіп үшінші жолға қосылды,бірінші бағанда бірінші жолдан төмен нөлдер алынды. Екіншіден екінші жолды (-2)-ге көбейтіп, үшіншіге қостық. Сатылы түргдегі матрицасы алынды. Онда нөлдік емес екі жол бар немесе екінші ретті минор бар, мысалға, . Сондықтан . және матрицалары эквивалентті болғандықтан, олардың рангы тең. Базистік минор ретінде алуға болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: