Дәріс 3. Сызықты теңдеулер жүйесі

Дәріс мазмұны: негізгі ұғымдар. Крамер ережесі, Кронекер- Капелли

теоремасы. Гаусс әдісі. Біртекті жүйелерді шешуі.

Дәріс мақсаты: сызықты теңдеулер жүйесін шешудің әртүрлі әдістерін оқу.

n белгісізді m сызықты теңдеулер жүйесі

(3.1)

мұндағы – белгісіздер; – коэффициенттер; – бос мүшелер. Егер барлық бос мүшелер нөлге тең болса, ондажүйе біртекті деп, қарсы жағдайда – біртекті емес деп аталады. – жүйенің матрицасы, – жүйенің кеңейтілген матрицасы. Жүйенің матрицалық түрде жазылуы: , мұндағы А– жүйенің матрицасы, , .

Жүйенің шешуі деп (3.1)-дегі белгісіздер орнына қойғанда тепе-теңдік орындалатын реттелген сандар (немесе векторы) жиыны айтылады. Егер жүйенің ең болмағанда бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді, қарсы жағдайда – үйлесімді емес деп аталады.

m=n болсын, сонда матрица шаршы болады және – жүйенің анықтауышы болсын. Егер , онда жүйенің жалғыз шешімі болады, ол екі әдістің біреуімен табылады 1) Крамер әдісі: , мұндағы – жүйенің анықтауышындағы i –ші бағанды бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда алған анықтауыш; 2) матрицалық әдіс: , мұндағы – жүйенің матрицасына кері матрица.

Теорема (Кронекера-Капелли). (3.1) жүйесі үйлесімді болуы үшін матрицаның рангы жүйенің рангына тең болуы қажетті және жеткілікті ( ).

Кез келген жүйені Гаусс әдісімен шешуге болады. Ол әдіс бойынша элементар түрлендіру арқылы жүйенің теңдеуінен біртіндеп айнымалыны (белгісізді) алып тастап отырып, оны сатылы түрге келтіреді. Практикада жүйенің элементар түрлендірулерін жүйенің кеңейтілген матрицасының жолдарын түрлендірумен ауыстырады. Үш жағдай болуы мүмкін:

а) кеңейтілген матрица үшбұрышты түрге келтіріледі: . Жүйенің матрицасы кеңейтілген матрицаның бөлігі болғандықтан, соңғы матрицадан: , сондықтан жүйе үйлесімді және жалғыз шешімі бар. Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйені жазайық. Соңғы теңдіктен жоғары қарай біріншіге дейін шешетін болсақ, соңғысынан , соңғыдан жоғарысы және с.с., біріншіден . Сонымен, шешімін аламыз;

б) кеңейтілген матрица трапеция түріндегі матрицаға келтіріледі: . Бұдан , жүйе үйлесімді және көп шешімі болады. Соңғы матрицада базистік минор таңдаймыз, яғни нөлге тең емес минор, оның реті рангтың ретіне тең болу керек.Базистік минорға коэффициенттері енген белгісіздерді – базистік деп, қалғандарын – бос белгісіздер деп атаймыз. Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйені жазайық және базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз. – базистік белгісіздер, – бос белгісіздер болсын. Базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз . Бұл теңдіктер жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Жалпы шешімнен кез келген дербес шешім алуға болады;

в) матрицасын түлендіру кезеңінде жолдардың біреуі түріне келтірілді, сонда және жүйе үйлесімсіз.

Біртекті сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық

(3.2)

Ол әруақытта үйлесімді, себебі және оның әруақытта жалғыз нөлдік шешімі болады . Біртекті теңдеулер жүйесібіртекті емес жүйенің дербес жағдайы болғандықтан оны Гаусс әдісімен шешуге болады. болсын, сонда:

а) егер , онда болса жүйенің жалғыз нөлдік шешімі болады,

егер – шешімдер жиыны;

б) егер және – жүйенің анықтауышы, онда егер жүйенің жалғыз нөлдік шешімі болады, ал егер , онда шексіз көп шешім.

Біртекті жүйенің шешімдер жиыны сызықты кеңістік құрайтыны дәлелденген, яғни егер және – (3.2) шешімдері болса, онда және ( –сан) олар да (3.2)-ке шешім болады және сызықты кеңістіктің 1)–8) қасиеттері орындалады. Бұл кеңістіктің базисі біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі деп аталады (ш.і.ж.) (немесе ш.і.ж. – бұл сызықты тәуелсіз шешімдерінің максимальды санының жиынтығы). Ш.і.ж. анықтау үшін (3.2)-нің жалпы шешімін табамыз:

, мұндағы - базистік белгісіздер, – бос белгісіздер. Бос белгісіздерге рет ( )-ші нөлге тең емес анықтауыштың жолының мәнін береміз (жиі мұндай анықтауыш ретінде анықтауышын алады, сонда сәйкес ш.і.ж.-ін нормаланған деп атайды). ш.і.ж. векторларын аламыз.

Ш.і.ж. – шешімдер кеңістігінің базисі болғандықтан, (3.2)-нің кез келген басқа шешімін ш.і.ж.-дің векторларының сызықты комбинациясы ретінде жазуға болады: . Соңғы формуланы жалпы шешім формуласы деп есептеуге болады, себебі бұл формуладан әртүрлі коэффициенттердің мәнінен әртүрлі (3.2)-нің шешім алуға болады.

Мысалы 1.3.1 - Біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің нормаланған іргелі жүйесін табу керек

. Ол үшін жүйенің матрицасын жазып, оны жолдарға элементар түрлендіру қолдану арқылы сатылы түрге келтіреміз:

.

, n=4: r<n, олай болса, жүйенің шексіз көп шешімі бар. – базистік минор, – базистік белгісіздер, – бос белгісіздер. Соңғы матрица бойынша жүйе құрамыз және базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз:

– жалпы шешім. Шешімдер кеңістігінің өлшемі n-r=4-2=2, сондықтан шешімдерінің іргелі жүйесі екі вектордан тұрады.

Бос белгісіздерге анықтауыштарының жолдарына тең мән бере бастаймыз, шешімдерінің іргелі жүйесін құрайтын екі шешім аламыз:

а) , сонда жалпы шешімнен . – іргелі жүйенің бірінші вектор;

б) , сонда . – іргелі жүйенің екінші векторы.

формуласы да, мұндағы – кез келген сандар, жүйенің жалпы шешімін білдіреді. Дербес шешімді алу үшін және -ге кез келген мән береміз. Мысалыға, =2, =7 болсын, сонда

– дербес шешуі.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: