Векторлардыңскалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері.

Анықтама. және векторларының скалярлық көбейтіндісі деп

=

саны айтылады, мұндағы - мен арасындағы бұрыш.

Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері.

а) ;

б) ;

в) ;

г) - скалярлық квадрат, белгіленуі .

Бұдан ; 5. , және . Сондықтан

Егер , онда - координаттық түрдегі скалярлық көбейтінді. Бұдан

.

Механикадағы скалярлық көбейтіндінің мысалы: күшінің әсерінің нәтижесінде OD қашықтығына апарылған массасы бірге тең болғандағы істелген жұмыстың мөлшері ; егерде материалдық нүкте күшімен бұрыш жасаса, онда болады

(1.2.3 сурет).

Сурет 1.2.3 Сурет 1.2.4

Анықтама. және векторларының векторлық көбейтіндісі деп (белгіленуі ), келесі шарттарды қанағаттандыратын векторы айтылады:

а) , – мен арасындағы бұрыш;

б) ;

в) – векторлардың оң үштігі.

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері.

1 ; 2 ; 3 ;

4 , и . Бұдан и .

Орттарды бір біріне көбейту үшін келесі сұлба қолайлы , оны былай қолданады: көрші векторларды солдан оңға қарай көбейтсек, келесі векторды плюс таңбасымен, оңнан солға қарай – минуспен. Мысалға, , .

Егер , онда =

= – координаттық түрдегі векторлық көбейтінді.

Мысалы векторлық көбейтіндінің қолданылуы:

а) физикада қатты дененің айналуының сызықты жылдамдығы = формуласымен есептелінеді;

б) өрістер теориясында вектордың өрісінің роторы = = .

Анықтама. , , векторларының аралас көбейтіндісі деп саны айтылады (яғни және векторлық көбейтіндісінің нәтижесі векторына скаляр көбейтіледі). Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы келесі теоремада көрсетіледі.

Теорема. , , компланар емес векторлардың аралас көбейтіндісі модулі бойынша , , векторларынан құрылған параллелепипедтің көлеміне тең. Егер , , оң үштік болса, онда ол оң, ал – сол үштік болса, онда ол теріс.

Расында, (1.2.4 сурет). Таңба таңбасымен сәйкес келеді. Басқа жағынан, , , . Сонымен, .

Координаттық түрдегі аралас көбейтінді формуласымен есептелінеді, мұндағы .

Аралас көбейтіндінің қасиеттері.

1 ; 2 ;

3 , , – компланарлы.

Бұл көбейтінділердің геометрияда қолданылуы:

а) және векторларынан құрылған параллелограммның ауданы ;

б) және векторларынан құрылған үшбұрыштың ауданы: ;

в) , векторларынан құрылған

параллелепипедтің көлемі: ;

г) бұл векторлардың компланарлық шарты: ; және векторлары үшін перпендикулярлық шарты: ; коллинеарлық шарты: ; д) егер нүктелері вектордың басы мен ұшы болса, онда оның координаталары болады, ал оның ұзындығы

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: