Сызықты (векторлық) кеңістік туралы ұғым.

Анықтама. Сызықты (векторлық) кеңістік деп x,y,z,… элементтері үшін қосу және санға көбейту операциялары анықталған V жиынын айтамыз. Бұл операциялар келесі аксиомаларға сүйенеді: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; .

Сызықты кеңістіктің элементтерін векторлар деп атау келісілген.

Ескерту. Егер сызықты кеңістіктің элементтері көбейтілетін сан нақты болса, кеңістік нақты деп; егер комплекс сандар болса, онда – комплексті сызықты кеңістік деп аталады.

Анықтама. векторлары үшін бірмезгілде нөлге тең емес сандары табылып шарты орындалса, ол векторлар сызықты тәуелді деп аталады. Ал егер тек коэффициенттері болғанда орындалса, бұл векторлар сызықты тәуелсіз деп аталады.

Егер V кеңістігінде n сызықты тәуелсіз векторлар бар болса, ал кез келген n +1 векторлар жүйесі сызықты тәуелді болса, онда n -ді V кеңістігінің өлшемі дейді. n- өлшемді V кеңістігінің базисі деп осы кеңістіктің кез келген n сызықты тәуелсіз векторлардың реттелген жүйесі айтылады. Сызықты кеңістіктің кез келген векторы базис бойынша жіктеледі, яғни мына түрде жазылады ( векторы векторларының сызықты комбинациясы делінеді), мұндағы – базис, – осы базистегі вектордың координаттары (векторды былай да жазады ).

Жазықтықта немесе кеңістіктегі бағытталған кесінділер ретінде векторлар жиыны сызықты кеңістік құрайды. Бұл кеңістіктер немесе деп белгіленеді; егер сызықты кеңістіктің элементтері жұп немесе үштік сандардан тұратын векторлар болса, онда бұл сызықты кеңістіктер немесе деп белгіленеді; егер n -дік сандар болса , онда – . Соңғы сызықты кеңістікті арифметикалық деп те атайды.

және кеңістіктерінде келесі теорема орынды.

Теорема. Кез келген екі (үш) вектор сызықты тәуелді болғанда ғана коллинеарлы (компланарлы) болады.

Бұл теоремадан егер жазықтықта (кеңістікте) коллинеарлы емес (компланарлы емес) векторлар берілсе, онда кез келген векторды осы векторлардың сызықты комбинациясы арқылы өрнектеуге болатындығы көрінеді.

Анықтама. Жазықтықтағы (кеңістікте) базис деп белгілі ретпен алынған екі (үш) коллинеарлы емес (компланарлы емес) векторлар айтылады. Теорема. Жазықтықта (кеңістікте) кез келген векторды базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жалғыз жолмен өрнектеуге болады (яғни базис бойынша жіктеледі).

Аналитикалық геометрияда векторларды түрлендіру, олардың координаттарын түрлендіруге әкеп соғады. базисінде және векторлары берілген болсын, яғни = , = = , сонда: а) = ( ); б) ; в) + = .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: