Под действием постоянных сил.

Варианты 1 – 5 (рис. 1, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ (с). Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку C плоскости BD, наклоненной под углом β к

Рис.1

горизонту, находясь в воздухе T (c).

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α = 30º; = 0; f = 0,2; l = 10 м;

β = 60°. Определить τ и h.

Вариант 2. Дано: α = 15°; = 2 м/с; f = 0,2; h = 4м;

β = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на

участке ВС.

Вариант 3. Дано: α = 30°; = 2,5 м/с; f ≠ 0; l = 8 м;

d = 10 м; β = 60°. Определить и τ.

Вариант 4. Дано: = 0; τ = 2 с; l = 9,8 м; β = 60°; f = 0.

Определить α и T.

Вариант 5. Дано: α = 30°; = 0; l = 9,8 м; τ = 3 с; β = 45°.

Определить f и .

Варианты 6-10 (рис. 1, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка АВ трамплина, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольже­ния лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется τ (с); в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т (с) лыж­ник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: α = 20°; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м;

β = 30°. Определить l и .

Вариант 7. Дано: α = 15°; f = 0,1; =16 м/с; l = 5 м;

β = 45°. Определить и Т.

Вариант 8. Дано: = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; = 20 м/с;

β = 60°. Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α = 15°; τ = 0,3 с; f = 0,1; h = 30 м;

β = 45°. Определить и .

Вариант 10. Дано: α = 15°; f = 0; = 12 м/с; d = 50 м;

β = 60°. Определить τ и уравнение траектории лыжника

на участке ВС.

Варианты 11-15 (рис. 1, схема 3). Имея в точке А скорость

мотоцикл поднимается τ (с) по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т (с) и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом матери­альной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: α = 30°; P ≠ 0; l = 40м; = 0;

= 4,5 м/с; d = 3 м. Определить τ и h.

Вариант 12. Дано: α = 30°; Р = 0; l = 40 м; = 4,5 м/с;

h = 1,5 м. Определить и d.

Вариант 13. Дано: α = 30°; m = 400 кг; = 0; τ = 20 с;

d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30°; m = 400 кг; Р = 2,2 кН; = 0;

l = 40 м; d = 5 м. Определить и .

Вариант 15. Дано: α = 30°; =0; Р = 2 кН, l = 50 м;

h = 2 м; d = 4 м. Определить T и m.

Варианты 16-20 (рис. 1, схема 4). Камень скользит в тече­ние τ (с) по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизон­том и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В ско­рость , камень через Т (с) ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: α = 30°; = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2;

d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: α = 45°; l = 6 м; = 2 ; τ = 1 с; h =

=6 м.

Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; = 0; f = 0,1; d = 3 м.

Определить h и τ.

Вариант 19. Дано: α =15°; l = 3 м; = 3 м/с, f ≠ 0; τ = 1,5 с;

d = 2 м. Определить и h.

Вариант 20. Дано: α = 45°, = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4.

Определить l и τ.

Варианты 21-25 (рис. 1, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент тре­ния скольжения равен f. Через τ (с) тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе Т (с).

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учиты­вать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α =30°; f = 0,1; = 1 м/с; τ = 1,5 с;

h = 10 м. Определить и d.

Вариант 22. Дано: = 0; α = 45°; l = 10 м; τ = 2 с.

Опреде­лить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; = 0; l = 9,81 м; τ = 2 с; h = 20 м;

Определить α и T.

Вариант 24. Дано: = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 10 м;

h = 12 м. Определить τ и h.

Вариант 25. Дано: = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 6 м;

h = 4,5 м. Определить τ и .

Варианты 26-30 (рис. 1, схема 6). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ (с). Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со ско­ростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т (с). При решении задачи при­нять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м.

Определить d и .

Вариант 27. Дано: = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2с; d = 2 м.

Опре­делить и h.

Вариант 28. Дано: = 3 м/с; f =0,3; l = 3 м; h = 5 м.

Опре­делить и Т.

Вариант 29. Дано: = 3 м/с; =1 м/с; l = 2,5 м; h = 20м.

Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м.

Опре­делить и τ.

Пример выполнения задания (рис. 2). Имея в точке А скорость , мотоциклист поднимается (с) по прямолинейному участ-

Рис. 2

ку длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе P мотоциклист в точке B приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе T (c), а затем приземляется в точке C со скоростью . Масса мотоциклиста вместе с мотоциклом равна m.

Дано: α = 30º; = 0; m = 400 кг; l = 75 м; h = 2,5 м; d = 3 м. Определить P, , T, и , считая мотоциклиста с мотоциклом материальной точкой и не учитывая сил сопротивления движению.

Решение. Объект исследования – мотоциклист вместе с мотоциклом. При движении по участку АВ на объект действуют следующие силы: сила тяжести , движущая сила и нормальная реакция наклонной плоскости. Составим дифференциальное уравнение движения объекта на рассматриваемом участке:

; (1)

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

(2)

(3)

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ подставим начальные условия ( в уравнения (2) и (3). Откуда т. е.

Тогда из уравнений (2) и (3) найдем

(4)

(5)

Для момента времени из уравнений (4) и (5) получим:

(6)

(7)

Рассмотрим движение объекта на криволинейном участке ВС. В этом случае на объект действует только сила тяжести , а дифференциальные уравнения движения имеют вид:

(8)

(9)

Интегрирование уравнения (8) дает:

.

Подставляя сюда соответствующие начальные условия , определяем постоянные интегрирования и : , т. е. .

Тогда

; (10)

(11)

Интегрируя дифференциальное уравнение (9), имеем:

(12) (13) Используя начальные условия , из уравнений (12) и (13) получим: , т. е. ; .

Окончательно

(14)

(15)

Поскольку координаты объекта в момент приземления в точке С , для этого момента времени из уравнений (10), (11), (14) и (15) следует:

;

Из последних двух уравнений этой системы получим:

Откуда

м/с;

с,

а из первых двух уравнений системы определим скорость объекта в момент падения с

м/с;

м/с;

м/с.

Из уравнений (6), (7) следует, что =2· =

= 40,43 с, а =

= 1,999·10³ H = 2,0 кН

О т в е т: кH; с; с; м/с; м/с.

Задание Д-2. Интегрирование дифференциальных

уравнений движения материальной точки, находящейся

под действием переменных сил

Найти уравнения движения тела М массой m (рис. 3−5), прини­маемого за материальную точку и находящегося под действием пере­менной силы , при заданных начальных условиях. Во всех вариантах ось z (где показана) вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30.

Необходимые для решения данные 30-ти вариантов задания приведены в табл. 1, в которой приняты следующие обозначения: − орты координатных осей (соот­ветственно ); − ускорение свободного падения (9,81 м/с²); ƒ − коэф­фициент трения скольжения; t − время, с; − координаты точки и проекции ее скорости на оси координат соответственно, м и м/с.

Во всех случаях, где сила зависит от , рассмотреть движе­ние объекта, при котором эти величины только положительны.

Пример выполнения задания (рис.6).

Дано: =2 кг; , =0,6 Н·с/м; =0,2; =0; =4 м/с.

Найти уравнение движения объекта.

Решение. Объект исследования находится под действием силы тяжести , силы , нормальной реакции опорной плоскости и силы трения скольжения .

Составим дифференциальное уравнение движения объекта:

.

Поскольку , а , это дифференциальное уравнение приобретает вид:

или после подстановки исходных данных

. (1)

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение с помощью метода разделения переменных. Для этого уравнение (1) приведем к виду:

.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Далее, разделив переменные, получим:

.

Интегрируя это дифференциальное уравнение в заданных пределах, последовательно будем иметь:

,

, │ =− ,

− =− , ,

и, наконец,

, м/с.

Разделим переменные в последнем дифференциальном уравнении и проинтегрируем в соответствующих пределах

,

,

,

│ −22,03 │ .

Откуда искомое уравнение движения объекта получает вид:

, м.

Интегрирование дифференциального уравнения (1) можно выполнить и с помощью теории линейных дифференциальных уравнений, представив его в виде:

. (2)

Уравнение (2) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, поэтому его общее решение отыскивается в форме:

,

где − общее решение однородного дифференциального уравнения , а − частное решение неоднородного уравнения (2).

Для определения составим характеристическое уравнение дифференциального уравнения :

.

Поскольку корни этого характеристического уравнения

являются действительными неравными числами, общее решение представляется следующим образом:

, т. е. .

Частное решение следует искать в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение (2), найдем, что м/с.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (2) принимает вид:

. (3)

Дифференцируя уравнение (3) по времени, будем иметь:

. (4)

Подставляя в уравнения (3) и (4) начальные условия

( м/с), получим:

;

откуда определим постоянные интегрирования: м,

м.

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в общее решение (3), найдем искомое уравнение движения объекта:

, м.

Задание Д-З. Исследование колебательного

движения материальной точки

Варианты 1-5 (рис. 7). Найти уравнение движения груза D массой (варианты 2 и 4) или системы грузов D и Е массами и (варианты 1, 3, 5), отнеся их движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы грузов D и Е (при статической деформации пружин). Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.

Вариант 1. Груз D ( = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подвешен­ному к двум одинаковым параллельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е ( = 1 кг). Сопротивление движению системы двух грузов пропорционально скорости: (Н), где v - скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант2. В момент, когда стержень, соединяющий грузы D ( = 1кг) и Е ( = 2 кг), перерезают, точка В (верхний конец последо­вательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону (см) (ось направлена вертикально вниз). Коэффициенты жесткости пружин с₁ = 12 Н/см, с₂ = 36 Н/см.

Вариант 3. Груз D ( = 0,8 кг) висит на пружине, прикрепленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости с₁ = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, коэффициенты жестко­сти которых с₂ = 4 Н/см, с₃ = 6 Н/см; точка F находится на расстояниях а и b от осей этих пружин: а/b = с₃/с₂.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е ( =1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость

= 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 4. Статическая деформация двух одинаковых параллельных пружин под действием грузов D ( = 0,5 кг) и Е ( =1,5 кг) f_ст = 4 см. Грузы подвешены к пружинам с помощью абсолютно жесткого бруска АВ. В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, пере­резают. Сопротивление движению груза D пропорционально скорости: (Н), где v – скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант 5. Одновременно с подвешиванием к грузу D ( = 1,6 кг), висящему на пружине, коэффициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е ( = 2,4 кг) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Варианты 6-10 (рис. 7). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкосновения груза с пружиной или с системой пружин, пред­полагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 6. Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30°) расстояние s = 0,1 м, груз D ( = 4 кг) ударяется о недеформи­рованные, последовательно соединенные пружины, имеющие коэффициенты жесткости с₁ = 48 Н/см и с₂ = 24 Н/см.

Вариант 7. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) при­соединяют без начальной скорости к концу А недеформированных после­довательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 12 Н/см, с₂ = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45°) по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Вариант 8. Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэф-

фи­циенты жесткости с₁ = 4 Н/см и с₂ = 6 Н/см, соединены абсолютно жестким бруском АВ, к точке К которого прикреплена пружина 3 с ко­эффициентом жесткости с₃ = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружин 1 и 2: а/b = с₂/с₁. Пружины 1, 2 и 3 не дефор­мированы. Груз D массой 1,5 кг присоединяют к концу N пружины 3; в тот же момент грузу D сообщают скорость = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45°). Массой бруска АВ пренебречь.

Вариант 9. Груз D (т = 1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30°) расстояние s = 0,2 м, ударяется о недеформированную пружину, коэффициент жесткости которой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружин)

начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз) (см. примечание к варианту 7).

Вариант 10. Груз D (т = 1 кг) прикрепляют в середине абсолютно жесткого бруска АВ, соединяющего концы двух одинаковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформированы. Коэффициент жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: (H),

где v – скорость (м/с), α = 60°. Массой бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Варианты 11 - 15 (рис. 8). Груз D, массой т укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизонтальной

плоско­сти вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин; положение покоя стержня, показанное на чертеже, соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материаль­ную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза (трением скольжения груза по плоскости пренебречь).

Движение отнести к оси х, за начало отсчета принять точку, соот­ветствующую положению покоя груза.

Вариант 11. Груз D (т = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух параллельных пружин, коэффициенты жесткости которых с₁= 1 Н/см и с₂ = 1,4 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружин: a/b = c₂/с₁.

Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения,

пока­занного на чертеже, и отпускают без начальной скорости. Сопро-

Рис.7

Рис. 8

тивление движению груза пропорционально скорости: (H), где

v – скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 12. В некоторый момент времени груз D (т = 3 кг), удер­живаемый в положении, при котором пружина сжата на величину = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с = 9 Н/см. Одновременно (t =0) точка B (правый конец пружины) начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена влево).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Вариант 13. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имею­щей коэффициент жесткости с₁= 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает концы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин. Грузу в положении стержня, показанном на чертеже, сообщают скорость = 0,5 м/с, направленную вправо.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости (H), где v – скорость (м/с).

Шток демпфера пропущен через отверстие в невесомом бруске АВ и соединен с грузом D.

Вариант 14. Груз D (т = 1,5 кг) прикреплен одной стороной

к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с₁ = 4,4 Н/см, а

другой сто­роной − к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с₂ = 2 Н/см, с₃ = 8 Н/см.

Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения, показанного на чертеже, и отпускают, одновременно сообщая грузу на­чальную скорость = 0,4 м/с, направленную вправо.

Вариант 15. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу А последовательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону (см) (ось ξ направлена влево). Коэффициенты жесткости пру­жин с₁ = 4 Н/см, с₂ = 12 Н/см. При t = 0 груз находился в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам (см. примечание к ва­рианту 12).

Варианты 16−20 (рис. 8). Найти уравнение движения груза D массой (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами и (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы

грузов D и Е (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются.

Вариант 16. Пружина 1, на которой покоится груз D ( = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ, соединяющий концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости пружин: = 200 Н/см, = 160 Н/см, = 140 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружин 2 и 3: а/b = / . В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е ( = 20кг); одновременно системе грузов сообщают скорость = 0,4 м/с, направленную вниз.

Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 17. В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины). Круговая частота собственных колебаний систе­мы грузов D и Е на пружине = 20 рад/с, отношение масс / = 2 / 3.

Вариант 18. Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием груза D ( = 20 кг) равна = 2 см. В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е ( = 10 кг). Сопротивление движению грузов пропорцио-

нально скорости: (H), где v – скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним, пренебречь.

Вариант 19. Два груза D и Е ( = 15 кг, = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 250 Н/см и с₂ = 375 Н/см. В момент, когда снимают груз E, опорная точка В пружин начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В (ξ= 0).

Вариант 20. На груз D, находящийся в состоянии покоя, соответ­ствующем статической деформации пружины, в некоторый момент вре­мени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость = 0,3 м/с, направленную вниз. Круговая частота собственных колебаний груза D на пружине k_D = 24рад/с, отно­шение масс / = 3.

Варианты 21 − 25 (рис. 9). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизон-

том угол α, отнеся движение к оси х; за начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 21. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) при­крепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 7 Н/см и с₂ = 3 Н/см; одновременно грузу

сообщают скорость = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45°) вниз.

Вариант 22. Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30°) в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины f_ст= 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В (ξ= 0).

Вариант 23. Груз D (т = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух недеформированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жесткости пружин с₁ = 2 Н/см и с₂ = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружины: a/b = c₂/с₁; α = 60°.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости: (Н), где v – скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 24. В некоторый момент времени груз D (т = 1 кг) при­крепляют к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 12 Н/см и с₂ = 4 Н/см, и отпускают без начальной скорости.

Одновременно (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать дви­жение по закону (см). Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30°) (см. примечание к варианту 22).

Вариант 25. Концы двух одинаковых параллельных пружин соеди­нены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под дей­ствием груза D (т =1,5 кг), находящегося на наклонной

плоскости (α = 30°), f_ст = 4,9 см. В некоторый момент грузу D сооб-

Рис. 9

щают скорость = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротив­ление движению груза пропорционально скорости груза: R = 6 v (H), где v – скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь.

Варианты 26−30 (рис. 9). Пренебрегая массой плиты и считая ее абсолютно жесткой, найти уравнение движения груза D массой т с мо­мента соприкосновения его с плитой, предполагая, что при дальнейшем дви­жении груз от плиты не отделяется.

Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин).

Вариант 26. Плита лежит на двух параллельных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 600 Н/см и с₂ = 400 Н/см. Груз D (m = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты h = 0,1 м в точку F плиты, находящуюся на расстояниях a и b от осей пружин: а/b = с₂/с_1.

Вариант 27. Коэффициент жесткости каждой из двух параллельных пружин, на которых лежит плита, с = 130 Н/см. Груз D (т = =40 кг) уста­навливают на середину плиты и отпускают без начальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивление движению груза пропорцио­нально скорости: R = 400 v (H), где v – скорость (м/с). Массой плиты и демпфера пренебречь.

Вариант 28. Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Стати­ческий прогиб пружины под действием этого груза f_ст = 1 см.

Вариант 29. Плита лежит на двух одинаковых параллельных пру­жинах 1 и 2, коэффициенты жесткости которых с₁= с₂ = с = 400 Н/см. В некоторый момент времени груз D (т = 200 кг) устанавливают на середину плиты и одновременно прикрепляют к недеформированной пру­жине 3, имеющей коэффициент жесткости с₃ = 200 Н/см. В тот же момент времени (при недеформированных пружинах) грузу сообщают скорость (м/с), направленную вниз.

Вариант 30. В некоторый момент времени груз D (т = 100 кг) уста­навливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот же момент времени точка В (нижний конец пружины) начинает совершать движение по вертикали согласно закону (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пру­жины с = 2000 Н/см.

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Во всех вариантах задания после выполнения расчетных операций построить с помощью компьютера график исследуемого процесса движения груза (или грузов).

Пример выполнения задания (рис. 10). Груз D ( =2 кг) лежит на гладкой опорной плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Коэффициент жесткости пружины, удерживающей груз, 8 Н/см. В некоторый момент времени точка B (левый конец пружины) начинает совершать движение согласно закону (см) (ось направлена вниз вдоль наклонной плоскости) (рис. 10, а). Определить уравнение прямолинейного движения груза по оси , полагая, что сила сопротивления движению, осуществляемая гидравлическим демпфером, пропорциональна скорости груза: R = 8v (H), где v – скорость (м/с). Начало отсчета на оси совмещено с положением покоя груза и соответствует среднему положению точки В.

Решение. Поскольку груз D совершает прямолинейное поступательное движение, его можно рассматривать как материальную точку. Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости в сторону удлинения пружины. В начальный момент времени груз находился в покое в положении статического равновесия, поэтому начальные условия движения груза являются нулевыми, т. е. при ; ; .

В текущий момент времени на груз действуют сила тяжести , нормальная реакция опорной плоскости, а также сила упругости пружины и сила сопротивления демпфера (рис. 10, б). Прямолинейное движение груза вдоль оси x описывается следующим дифференциальным уравнением:

; . (1)

Здесь

, где − деформация пружины в текущем положении груза; l и − длины пружины в текущем и недеформированном состояниях соответственно; − статическая деформация пружины (в состоянии покоя груза и , т.е. и , откуда ); (b =1,5 см; 18 рад/с) – перемещение точки B пружины; ( 8Н·с/м − коэффициент сопротивления демпфера).

При этом дифференциальное уравнение (1) примет вид

(2)

Рис. 10

или после преобразования

.

Введя обозначения

, , ,

приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:

. (3)

Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения: .

Найдем числовые значения входящих в дифференциальное уравнение (3) величин: с^-1 – коэффициент затухания; рад/с 20с^-1 – круговая частота собственных незатухающих колебаний груза; м/с² –относительная амплитуда кинематического возбуждения колебаний.

Поскольку n<k, корни соответствующего характеристического уравнения являются комплексно-сопряженны- ми числами ,9 i и общее решение записывается в виде

,

где 19,9 рад/с – круговая частота собственных затухающих колебаний груза.

Частное решение дифференциального уравнения (3) описывает вынужденные колебания груза

,

где

0,057 м –

амплитуда вынужденных колебаний;

0,758 рад – сдвиг фазы вынужденных колебаний относительно фазы кинематического возбуждения.

Общее решение исходного дифференциального уравнения (3) принимает вид

. (4)

Для определения постоянных интегрирования и формируем, кроме того, функцию

+

+ (5)

и, используя начальные условия задачи, получим:

,

откуда

м;

м.

Подставляя найденные постоянные интегрирования и в общее решение (4), получим искомое уравнение движения груза D:

(6)

или с учетом найденных значений входящих в уравнение (6) величин

, м. (7)

На рис. 11, а представлен график исследуемого процесса движения груза, являющегося суперпозицией вынужден-

ных гармонических колебаний с частотой рад/с

(рис.11, б) и собственных затухающих колебаний с частотой рад/с (рис.11, в).

Отметим, что при отсутствии демпфирования

Рад/с; м;.

В этом случае дифференциальное уравнение движения груза приобретает вид

, (8)

а его общее решение:

. (9)

С учетом нулевых начальных условий будем иметь

= −0,071 м, а уравнение движения груза

, м. (10)

Соответствующий график процесса движения представлен на рис. 12, отражающем ярко выраженные биения, т. е. периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при наложении двух гармонических колебаний с близкими частотами (.

а)

б) в)

Рис. 11

Рис. 12

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: