Вращательного движений твердого тела

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3.

К колесу 1 механизма приложена пара сил с моментом (движущий момент) или движущая сила .

Время отсчитывается от некоторого момента (t = 0), в который угол поворота и угловая скорость колеса 1 равны соответственно: , . Момент сил сопротивления вращению ведомого колеса 2 равен . Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.

Массы колес 1 и 2 механизма − и , а масса поднимаемого груза 3 − .

Радиусы больших и малых окружностей колес 1 и 2:

Схемы механизмов показаны на рис. 35−39, а необходимые для решения данные приведены в табл. 7. Найти уравнение движения тела системы, указанного в последнем столбце табл. 7. Определить

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

также силы натяжения нитей в заданный момент времени , а в вариантах, где имеется контакт колес 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их соприкосновения. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции и относительно их неподвижных осей вращения втабл. 7 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания (рис. 40). Дано: кг; кг; m ₃= 400 кг; Н; Н·м = const; см; см; см; см; рад/с.

Найти уравнение вращательного движения колеса 1 механизма, а также окружное усилие в точке контакта колес 1 и 2 и силу натяжения T нитив момент времени t ₁ = 2,5 с (рис. 40, а).

Решение. Рассмотрим в качестве объекта исследования колесо 1 (рис. 40, б), которое находится под действием силы тяжести , движущей силы , составляющих , реакции подшипника , а также окружного и радиального усилий со стороны колеса 2.

Дифференциальное уравнение вращения колеса 1

, (1)

где момент инерции колеса относительно его неподвижной оси вращения ; главный момент внешних сил, приложенных к колесу, относительно той же оси.

При составлении учитывается следующее правило знаков моментов: момент движущей силы , приводящий в движение колесо 1, является положительным, а момент силы как момент сопротивления вращению колеса – отрицательным. Тогда

, (2) и дифференциальное уравнение вращения колеса 1 примет вид:

. (3)

Рассмотрим колесо 2 и составим дифференциальное уравнение его вращения вокруг неподвижной оси

(4)

К колесу 2 механизма приложены: сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие , реакции подшипника B,си-

Рис. 40

ла натяжения нити, к которой подвешен груз 3, а также окружное и радиальное усилия со стороны колеса 1. При этом очевидно:

.

Тогда главный момент внешних сил, приложенных к колесу 2, относительно оси

, (5)

и дифференциальное уравнение (4) примет вид

. (6)

Выразим угловое ускорение колеса 2 через угловое ускорение колеса 1, уравнение вращения которого необходимо определить.

Так как , то ,

и дифференциальное уравнение (6) приобретает вид

. (7)

Теперь рассмотрим в качестве объекта исследования груз 3, движущийся поступательно, и составим дифференциальное уравнение, описывающее его движение:

. (8)

Здесь проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось , направленную в сторону движения груза, т. е. вверх.

Так как к грузу приложены сила тяжести и сила натяжения нити (очевидно, что , то

,

кроме того, выразив ускорение груза через , получим:

,

что позволяет привести дифференциальное уравнение (8) движения груза к следующему виду:

. (9)

Уравнения (3), (7), (9) составляют систему совместных дифференциальных уравнений

; ; . (10)

В этих уравнениях неизвестны силы S ₁= S ₂ = S и , а также угловое ускорение . Исключим сначала , для чего из третьего уравнения этой системы определим

(11)

и подставим во второе:

,

откуда

.

Затем умножим полученное уравнение на , а первое уравнение системы (10) на и, сложив соответствующие части уравнений, получим:

.

Отсюда

. (12)

Выражение (12) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 1.

Учитывая исходные данные, найдем моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей и :

кг·м²; кг·м².

Тогда по формуле (12) получим:

рад/с².

(13)

Интегрируем это уравнение дважды:

;

.

Для определения постоянных интегрирования и начальные условия ( рад/с) подставим в первый и второй интегралы

;

.

Отсюда найдем, что рад/с; , а следовательно, искомое уравнение вращения колеса 1 имеет следующий вид:

(рад). (14)

Окружное усилие определим из уравнения (3):

.

При с угловое ускорение составит

рад/с²,

и тогда

Н.

Силу натяжения нити в заданный момент времени найдем из уравнения (11):

Н.

Ответ: (рад); Н; Н.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: