Задание Д-9. Исследование плоского движения

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Твердого тела

Определить максимальную величину постоянной силы , под действием которой колесо массой катится без скольжения по неподвижной опорной плоскости. Найти также для этого случая уравнение движения центра масс C колеса,если в начальный момент времени координата искорость центра С равны нулю ( = 0; ). Варианты задания показаны на рис. 41−45, а необходимые для решения данные приведены в табл. 8.

В задании приняты следующие обозначения: − радиус инерции колеса относительно центральной оси, перпендикулярной к его плоскости; R и r − радиусы большой ималой окружностей колеса;

− коэффициент сцепления; δ − коэффициент трения качения.

Колеса, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания (рис. 46). Дано: т= 250 кг;

R = 50 см; r = 25 см; = 40 см; α= 20°; β= 30°; = 0,25; δ = 0,012 м (рис. 46, а).

Решение. Колесо, являющееся объектом исследования, совершает плоское движение, находясь под действием силы тяжести ,нормальной реакции опорной плоскости, силы , силы сцепления и момента трения качения (рис. 46, б).

При составлении дифференциальных уравнений движения колеса следует считать моменты сил и пар сил положительными, если они способствуют вращению колеса. Силу сцепления , когда не ясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону. Действительное направление этой силы устанавливается в процессе решения задачи.

Дифференциальные уравнения плоского движения колеса составляются в форме

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

и в рассматриваемом случае имеют вид:

; (1)

; (2)

. (3)

За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки, т. е. в ту сторону, куда будет вращаться колесо при движении центра С от оси .

Поскольку ясно, что и , то из уравнения (2) получим

.

Момент трения качения, действующий со стороны опорной плоскости, определяется следующим образом:

.

Поэтому уравнения (1) и (3) содержат четыре неизвестные величины ( и ), и, следовательно, необходимо найти еще одно

соотношение, связывающее эти величины. Для этого учтем, что (так как центр C движется прямолинейно) и что при качении без скольжения в точке К находится мгновенный центр скоростей колеса.

Тогда угловая скорость колеса , а его угловое ускорение . При этом уравнение (3) принимает следующий

Рис. 46

вид

(4)

Для исключения разделим уравнение (1) на (4):

,

откуда

. (5)

Заметим, что выражение (5) дает возможность судить о правильности выбранного направления силы сцепления. Приближение силы P к своему предельному значению (искомой величине) сопровождается, естественно, возрастанием силы сцепления. Поэтому в выражении (5), приведенном к виду , коэффициент a должен быть положительным. В нашем случае

т. е. направление силы сцепления на расчетной схеме указано верно.

В противном случае следует изменить направление на противоположное и внести соответствующие изменения в дифференциальные уравнения (1) − (3).

Максимальное значение силы сцепления:

).

Подставляя максимальное значение в уравнение (5), найдем максимальное значение силы , при действии которой колесо катится без скольжения:

или

Н.

Сила сцепления

Н.

Дифференциальное уравнение движения центра колеса

или

,

откуда

м/с².

Дважды интегрируя это дифференциальное уравнение, находим:

Подставляя начальные условия (; = 0; в полученные уравнения, определяем значения постоянных интегрирования:

и .

Следовательно, уравнение движения центра колеса

(м).

Ответ: Н; (м).

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: