Методы отделения корней уравнений

Чем меньше длина отрезка изоляции, тем выше точность прибли­жения, однако с помощью используемых для отделения корней при­емов получить отрезок достаточно малой длины трудно. Нуж­ны специальные методы уточнения корней. Далее в главе будет рас­смотрено несколько таких методов, которые реализуют следующие два способа поиска приближенного корня с заданной точностью ε > 0:

1. Последовательно уменьшая длины отрезка изоляции корня по какому-либо правилу, отыскивается отрезок такой, что и . Тогда приближенным корнем требуемой точности бу­дет середина отрезка

2. Строится последовательность чисел сходящая­ся к корню t. Как только окажется , можно положить Такая последовательность называется последовательностью прибли­жений, а определяющий ее метод — методом последовательных при­ближений.

Первый способ удобен тем, что позволяет легко устанавливать завершение процесса уточнения, поскольку отрезки изоляции и их длины на каждом шаге вычислений известны.

Непосредственную проверку условия из второго спо­соба проводить не удается, ибо неизвестен точный корень t. В то же время для каждого метода последовательных приближений есть воз­можность получить неравенства вида

Здесь V_n — числовое выражение, значения которого при каждом η характеризуют степень близости приближения к корню, обес­печиваемую данным методом. За условие окон­чания процесса приближений можно взять неравенство: .

Абсолют­ной погрешность каждого приближения ибо ясно, что

4.2. Алгоритм построения итерационной последовательности, по­рождаемой уравнением )