Теорема о существовании локального экстремума для функций двух переменных.

Теор. Пусть (a;b)-стац точка диф скал ф-ии r=f(x,y). Пусть сущ производ 2ого порядка ф-ия диф на [a;b].Пусть A=∂²f(a,b)/∂x², B=∂²f(a,b)/∂x∂y, C=∂²f(a,b)/∂y². Тогда:1)если A>0, AC-B²>0, то в т.(a,b) ф-ия имеет строгий лок максимум; 2)если A<0, AC-B²>0, то в т.(a,b) ф-ия имеет строгий лок минимум; 3)если AC-B²<0, то в т.(a,b) ф-ия не имеет экстремума; 4)если A=0 или AC-B²=0, то необходимо дополнительные исследования (могут реализ все случаи).

60. Теорема о существовании, единственности и непрерывности неявной функции скалярного аргумента. Теор. Предположим выполняется след условия:1)F:E→R, EcR²(т.е. F(x,y)) непрер в прямоугольнике: {(x,y)||x-x₀| ∆, |y-y₀| ∆’}cE с центром в точке (x₀,y₀); 2)Вы прав-во F(x₀,y₀)=0; 3)При каждом xє[x₀-∆,x₀+∆] ф-ия F(x,y) строго монотонна по переменной y. Тогда в некоторой окр-ти (x₀-δ;x₀+δ) существует единственная ф-ия y=y(x), такая что .

61. Дифференцируемость неявной функции скалярного аргумента. Теоремы о неявных функциях векторного аргумента. Т. Пусть выполняются условия: 1)ф-ия F:E→R, EcR²(т.е. F(x,y)) имеет непрерывн частную производ 1ого порядка в нек окр-ти т.(x₀,y₀)єE; 2)F(x₀,y₀)=0; 3) (x₀,y₀) 0; Тогда в некоторой окр-ти (x₀-δ;x₀+δ) существует единственная дифф-ая ф-ия y=y(x) для которой y₀=y(x₀) , y’(x)=- . Т. Пусть, предположим что: 1)F(,y) непрерыв в (n+1)-мерном параллелепипеде: П={|x₁- | ∆₁,…, |x_n- | ∆_n,|y-y₀| ∆’} в центре с т.(, )=(,…, ,y^o); 2)F(,y⁰)=0; 3)При каждом єП ф-ия F(,y) строго монотонна по y. Тогда в некотор окр т.x⁰ единств непр ф-ия y=y(), такая что y⁰=y() и F(,y()) . Т. Предположим вып усл: 1)F(,y) непрерыв частн производ 1ого порядка в некотор окр-ти (,y⁰); 2) F(,y⁰)=0; 3) (,y⁰) 0. Тогда сущ такая окр-ть котор ур-ние F(,y)=0 опред единств дифф ф-ию y=y(), такую что y⁰=y(), F(,y()) , =- .