Критерий Коши и другие критерии сходимости для числовых рядов

Т. , т.е любой отрезок ряда может быть сделан сколь угодно малым, начиная с некоторого номера.

Т. (критерий сх-ти ряда в терминах остатов)Сх-ть ряда ∑ak равносильна сх-ти любого его остатка. В случае сх-ти ряда посл-ть (r_n) суммы остатков стремится к 0.

Т. (критерий сх-ти ряда с неотриц членами)Сх-ть числ ряда с неотриц членами равнос ограниченности сверху посл-ти его частных сумм.

66. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.

Т. (Мажорантный признак сравнения). Пусть ∑ak и ∑bk ряды с неотриц членами и ak=O(bk) при k→∞, тогда: 1)Если ряд ∑bk сх-ся, то ряд ∑ak также сх-ся; 2) Если ряд ∑ak расх-ся, то ряд ∑bk также расх-ся.

Т. (признак сравнения в предельной форме).Пусть ∑bk и ∑ak-знакополож ряды и существует lim ak/bk=Lє[0;+∞), тогда: 1)При 0<L<+∞ ряды ∑bk и ∑ak оба сх-ся или расх; 2)При L=0 из сх ниж ряда из ∑bk вытекает сх-ть ряда ∑ak; 3)При L=+∞ из расход-ти верхнего ряда ∑ak вытекает расх-ть нижнего ряда ∑bk.

Т. (признак сравнения отношения).Пусть сумма ∑ak и ∑bk-знакоположит ряды и для всех вы прав-во: , тогда: 1)∑bk сх, тогда ∑ak сх; 2)∑ak расх, тогда ∑bk расх.

67. Интегральный признак сходимости для знакоположительных рядов. Следствия. Т. (Интеграл призн Маклорена-Коши).Пусть f:[1;+∞)→R-положит убывающ ф-ия, тогда сходимость числового ряда ∑f(x) равносильна существованию конечного lim f(x) первообразной F(x) для ф-ии f(x). Сл. Для гармонического ряда ∑ имеем f(x)= . Её первообразная F(x)=ln x→+∞, тогда ряд ∑ расх-ся.Из отношения S_n-f(1) S_n-1 при f(x)= вытекает приближ знач для частных сумм гармонического ряда ∑ : Более точная ф-ла: , →0, c=lim() наз постоянной Эйлера(с=0,577…) 68. Признаки Коши и Даламбера